गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांत व्युत्पन्न कैसे खोजें?

कंक्रीट में कुछ समारोह एफ (एक्स) का व्युत्पन्नबिंदु x0 तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, बशर्ते कि x 0 तक हो, और सीमा मौजूद है। व्युत्पन्न आमतौर पर एक प्राइम द्वारा दर्शाया जाता है, कभी-कभी एक बिंदु या अंतर के माध्यम से। अक्सर, सीमा पार खींचा गया रिकॉर्ड भ्रामक है, क्योंकि इस तरह के एक प्रतिनिधित्व का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

एक समारोह जिसमें एक निश्चित रूप से व्युत्पन्न होता हैबिंदु x0, यह एक बिंदु पर इसे अलग करने के लिए प्रथागत है। मान लीजिए कि डी 1 उन बिंदुओं का सेट है जिस पर एफ को अलग किया जाता है। प्रत्येक संख्या को डी एफ '(x) से संबंधित संख्या x को असाइन करके, हम नोटेशन डी 1 के डोमेन के साथ एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। यह फ़ंक्शन y = f (x) का व्युत्पन्न है। इसे एफ '(एक्स) के रूप में दर्शाया गया है।

इसके अलावा, व्युत्पन्न व्यापक रूप से प्रयोग किया जाता हैभौतिकी और इंजीनियरिंग। चलो सबसे सरल उदाहरण मानते हैं। भौतिक बिंदु सीधे समन्वय अक्ष के साथ चलता है, गति के नियम को क्या दिया जाता है, यानी, इस बिंदु का समन्वय एक्स ज्ञात फ़ंक्शन x (टी) है। टी 0 से टी 0 + टी के अंतराल के दौरान, बिंदु का विस्थापन x (t0 + t) -x (t0) = x है, और इसकी औसत वेग v (टी) x / t है।

कभी-कभी गति के चरित्र को इस तरह से दर्शाया जाता है कि कबसमय के छोटे अंतराल औसत गति परिवर्तन नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि सटीकता का एक बड़ा डिग्री के साथ आंदोलन वर्दी माना जाता है। वैकल्पिक रूप से, औसत गति, t0 कुछ बिल्कुल सटीक मूल्य के लिए इस प्रकार है, और तात्कालिक गति वी (t0) समय t0 की एक विशेष क्षण में उस बिंदु के रूप में भेजा जाता है। माना जाता है कि तात्कालिक गति वी (टी) के लिए किसी भी अलग-अलग समारोह एक्स (टी), क्या वी (टी) में जाना जाता है एक्स के लिए '(टी) के बराबर है। सीधे शब्दों में कहें, गति - यह समय के निर्देशांक की एक व्युत्पन्न है।

तात्कालिक वेग दोनों सकारात्मक और हैनकारात्मक मान, और मूल्य 0। यदि यह कुछ समय अंतराल (टी 1; टी 2) के लिए सकारात्मक है, तो बिंदु उसी दिशा में चलता है, यानी, x (टी) समन्वय समय के साथ बढ़ता है, और यदि v (टी) ऋणात्मक है, तो समन्वय एक्स (टी) घटता है।

अधिक जटिल मामलों में, बिंदु एक विमान या अंतरिक्ष में चलता है। फिर वेग एक वेक्टर मात्रा है और वेक्टर वी (टी) के प्रत्येक निर्देशांक निर्धारित करता है।

इसी तरह, कोई त्वरण के साथ तुलना कर सकते हैंगति बिंदु। गति समय का एक कार्य है, यानी, v = v (टी) है। और इस तरह के एक समारोह का व्युत्पन्न गति का त्वरण है: ए = वी '(टी)। यही है, यह पता चला है कि समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न एक त्वरण है।

मान लीजिए कि y = f (x) कोई अंतर हैसमारोह। फिर हम समन्वय रेखा के साथ एक भौतिक बिंदु की गति पर विचार कर सकते हैं, जो कानून x = f (टी) के पीछे होता है। व्युत्पन्न की यांत्रिक सामग्री अलग-अलग गणित के प्रमेय की दृश्य व्याख्या प्रस्तुत करना संभव बनाता है।

व्युत्पन्न कैसे खोजें? किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को ढूंढना इसे भिन्नता कहा जाता है।

हम व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कैसे ढूंढें इसके उदाहरण देंगे:

निरंतर कार्य का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है; फ़ंक्शन y = x का व्युत्पन्न एक के बराबर है।

और व्युत्पन्न अंश कैसे प्राप्त करें? ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित सामग्री पर विचार करें:

किसी भी x0 <0 के लिए हमारे पास है

वाई / एक्स = -1 / एक्स 0 * (एक्स + एक्स)

व्युत्पन्न खोजने के लिए कई नियम हैं। अर्थात्:

यदि फंक्शन ए और बी को बिंदु x0 पर विभेदित किया गया है,तो उनके योग बिंदु पर विभेदित है: (ए + बी) '= ए' + बी '। सीधे शब्दों में कहें, राशि का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर है। यदि फ़ंक्शन किसी बिंदु पर भिन्न होता है, तो तर्क वृद्धि शून्य होने पर इसकी वृद्धि शून्य हो जाती है।

यदि फंक्शन ए और बी को बिंदु x0 पर विभेदित किया गया है,तो उनके उत्पाद को बिंदु पर अलग किया जाता है: (ए * बी) '= ए'बी + एबी'। (कार्यों के मूल्य और उनके डेरिवेटिव की गणना बिंदु x0 पर की जाती है)। यदि फंक्शन ए (एक्स) बिंदु x0 पर विभेदित है, और सी स्थिर है, तो सीए इस बिंदु पर और (सीए) '= सीए' अलग है। यही है, ऐसे निरंतर कारक व्युत्पन्न के संकेत के रूप में लिया जाता है।

(ए / बी) '= (A'B-एबी') / बी * बी: कार्यों ए और बी विभेदित बिंदु x0 हैं, और समारोह बी शून्य के बराबर नहीं है, तो उनके अनुपात भी कम से विभेदित